Kurt Gödel: las matemáticas sólo funcionan dentro de las matemáticas

Kurt Gödel: las matemáticas sólo funcionan dentro de las matemáticas

Por: ciudadanoandres -

“Ningún sistema consistente puede usarse para demostrarse así mismo”.
-Kurt Gödel

Hablar de Kurt Gödel es hablar de uno de los matemáticos más importantes de la historia, pues más allá de hacer grandes investigaciones sobre una rama de las matemáticas estudió a éstas como un todo e hizo una de las más atemorizantes e inspiradoras conclusiones: las matemáticas sólo funcionan dentro de las matemáticas. 

matemáticas Kurt Gödel

Para entender este concepto más a fondo primero hay que entender algunos conceptos básicos de las matemáticas:

Un axioma es una proposición que se considera evidente y se acepta sin requerir demostración previa.

Un teorema es una fórmula bien formada que puede ser demostrada dentro de un sistema formal.

Un sistema formal es un tipo de sistema lógico-deductivo constituido por un lenguaje formal. 

Un lenguaje formal es un lenguaje cuyos símbolos primitivos y reglas para unirlos están formalmente especificados.

Intuitivamente, un conjunto de fórmulas es consistente cuando no contiene una contradicción o ambigüedad. 

El teorema de incompletitud de Gödel establece que para todo sistema formal recursivo auto-consistente lo suficientemente poderoso como para describir la aritmética de los números naturales, existen proposiciones verdaderas sobre los naturales que no pueden demostrarse a partir de los axiomas. Para demostrar este teorema desarrolló una técnica denominada numeración de Gödel, la cual codifica expresiones formales como números naturales.

el teorema de Gödel

La numeración de Gödel es una función que asigna a cada símbolo y fórmula de un lenguaje formal un número único, denominado Número de Gödel (GN)

Teoría de Kurt Gödel

En términos mundanos lo que concluye el matemático austrohúngaro es que las matemáticas dependen esencialmente de los axiomas con los que fueron construidas, y si estos axiomas cambian, las conclusiones a las que llegan las matemáticas se modifican por completo. Por un lado, es atemorizante ya que lo que quiere decir es que no es posible demostrar la exactitud de la llamada ciencia exacta; por otro, es inspiradora, pues se puede concluir, a partir de este teorema, que todo es posible.

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Referencias: