¡En efecto, quien busque el infinito, que cierre los ojos!”
Milan Kundera
Las paradojas se distinguen por ser argumentos extraños y contraintuitivos, quimeras repletas de confusión y tentadoras sirenas que estimulan nuestra imaginación. Toleramos la incertidumbre, pero al mismo tiempo disfrutamos del misterio. Las matemáticas y la filosofía nos sonríen desde un rincón, para sumergirnos en un viaje de complejidades que trascienden el sentido común: ¿Qué es el infinito?
El infinito no es solamente algo muy grande, sino algo que ni siquiera termina. Aún no lo acabamos de comprender. Vivimos entre infinitos microscópicos y macroscópicos: el mundo bacteriano y la vastedad del Cosmos. Tal cual las palabras del sabio Hermes Trimegisto: “Como es arriba, es abajo; como es abajo, es arriba”. Estamos rodeados de infinitos…
Sin embargo, diversos matemáticos se dieron la tarea de enfrentar el concepto más inaccesible y paradójico que haya pretendido el frágil intelecto del ser humano. Desde los antiguos griegos, Aristóteles y Zenón de Elea, los más grandes sabios de la época encararon el problema sin tener éxito. Rechazaban el concepto a causa de las contradicciones que generaba. Un ejemplo de estas situaciones extrañas se encuentra en la famosa Paradoja de Zenón acerca de Aquiles y la tortuga.
Los sabios griegos se llevaron una lección: el infinito no es trivial, va más allá de las posibilidades humanas de contar el tiempo y la historia. Entonces si queremos comprenderlo debemos dejar de lado el sentido común, no intentar entenderlo a través de nuestra visión finita, sino utilizar la imaginación. A continuación te invitamos al Hotel infinito de David Hilbert, un experimento mental diseñado para ponerte de cabeza. Así que si te sientes perdido no te preocupes, esa es la intención de Hilbert. Si las preguntas surgen, las respuestas vendrán después.
El hotel infinito de Hilbert
Imagine un Hotel con un número infinito de habitaciones, y un administrador dispuesto a organizarlo. Después de una semana de la inauguración, el hotel se llena por completo, ya no quedan más habitaciones. El administrador goza de ganancias infinitas. No obstante, una noche llega un viajero desde muy lejos. Necesita una habitación y el dueño del hotel no va a dejar perder un cliente. El administrador piensa en una solución: le pide al huésped de la habitación #1 cambiarse a la #2 y al de ésta última a la #3, y así sucesivamente hasta el infinito. De esta manera el viajero que acaba de llegar puede ocupar la habitación #1.
El ingenio del administrador es loado por el dueño. Así cualquier número de personas podrá seguir hospedándose al hotel, tan sólo basta con recorrer un número determinado de habitaciones a los huéspedes. Desgraciadamente el día siguiente llega un camión infinitamente largo con un número infinito de pasajeros. El administrador queda sorprendido pero aún así idea un nuevo método para alojar a todos los pasajeros del camión infinito: Que el huésped del cuarto #1 se mude al #2, el del #3 se mude al #6 y así hasta el infinito. De Esta forma sólo los números pares estarán ocupados, y los pasajeros del camión infinito tendrán cupo en el hotel.
Una vez más el administrador logra lo imposible. El dueño está contento disfrutando de sus ganancias infinitas. La fama del hotel crece, todo el mundo quiere conocer el hotel infinito de Hilbert. Para su mala suerte, la semana siguiente llega un número infinito de camiones infinitamente largos con pasajeros infinitos. ¿Ahora cómo podrá alojar a tanta gente el administrador? ¿Es posible que continúe alojando más personas de manera infinita?
Si quieres saber la respuesta te invito a ver el siguiente video.
La paradoja del hotel de Hilbert explora los terrenos más exóticos de las matemáticas. Nos habla de un infinito contable, es decir: que se compone de aquellos números que utilizamos para contar objetos diariamente (1,2,3,4…). No obstante, este infinito (denominado aleph-0) es apenas el primero de otros tantos. Si no me crees piensa en cuántos números existen entre el cero y el uno: 0.0001, 0.002, 0.05… ¿Si algún día llegara al hotel una caravana de camiones infinitamente largos tan numerosa como los números que existen respectivamente entre 0,1,2,3,4,5,6, podría el administrador alojar a sus pasajeros?
Las matemáticas nos dicen que es posible. Georg Cantor elaboró una teoría para describir los conjuntos infinitos. De acuerdo a él existen infinitos más grandes que otros infinitos (aleph-0, aleph-1.. etc), e incluso se pueden hacer operaciones con ellos: infinito + 1. ¿Pero cómo es que determinamos las consecuencias de tales colosos matemáticos? Sigamos el consejo de Milan Kundera. Es la única manera.
Las posibilidades que nos ofrecen las matemáticas y la filosofía permiten que salgamos del escenario de certidumbre y confort que tanto nos agrada, para incrementar nuestro conocimiento y evitar caer en las garras del dogmatismo.
La duda es saludable. Filosofar e imaginar mantiene vivo nuestro sentido de asombro mediante la transformación de situaciones familiares en escenarios extraños.
